Volume maximal - Énoncé 5

Adélina dispose d'une feuille cartonnée qui a la forme d'un carré de côté 20 cm. Elle souhaite, à l'aide de cette feuille, construire une boîte de rangement sans couvercle. Pour cela, elle découpe dans chaque coin un carré de côté \(x\) cm et relève ensuite verticalement les bords en pliant selon les pointillés comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

1. Expliquer pourquoi \(x\) est compris entre 0 et 10.

Dans la suite, on notera \(V\) la fonction qui, à tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;10]\) associe le volume \(V(x)\) de la boîte en cm \(^3\) .

2. Démontrer que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;10]\) , \(V(x)=4x^3-80x^2+400x\) .

3. Démontrer que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;10]\) , \(V'(x)=4(x-10)(3x-10)\) .

4. À l'aide d'un tableau de signes, déterminer le signe de \(V'(x)\) sur \([0~;10]\) .

5. En déduire le tableau de variations de la fonction \(V\)  sur l'intervalle \([0~;10]\) .

6. Pour quelle valeur de \(x\) , arrondie au mm, le volume de la boîte est-il maximal ?

7. Adélina aurait souhaité obtenir une boîte de volume 600 cm \(^3\) . Est-ce possible ?